レンズと鏡：成像公式で解く光学系の仕組み

、眼鏡をかけて世界がクリアに見えるのはなぜでしょうか。カメラで写真を撮れるのはなぜでしょうかそして、顕微鏡で微生物を観察できるのはなぜでしょうか。、これらの疑问の全てに共通して答えるのが、光学系の基本元件であるレンズと鏡のはたらきです。光学系を数式で理解し、身の回りにある機器の原理を明確にすることがこの章の目标です。

凸レンズと凹レンズの違い

レンズは中央부와边缘部の厚さの関係によって两大種類に分けられます。凸レンズ（ 양성렌즈）は中央部が边缘部より厚くなっており、光を一点に集める性質があります。相反に、凹レンズ（음성렌즈）は中央部が边缘部より薄く、光を広がらせる性質があります。

凸レンズに平行光線を当てると、光はレンズ通過後に一点に集まります。この点を焦点と言い、レンズの中心から焦点までの距離を焦点距離 f と呼びます。逆に、凹レンズでは平行光線がレンズ通過後に広がるように遅れ、その延长線が光源侧の一点に集まっているように見えます。この仮想の点を凹レンズの焦点と呼びます。

記号では、凸レンズをconvex lens、凹レンズをconcave lensと呼びます。覚え方のコツは、凸は「出る」（光が集まる）、凹は「込む」（光が広がる）と覺えると良いでしょう。また、日本語では凸レンズを指して「収れんレンズ」、凹レンズを「発散レンズ」と呼ぶこともあります。

レンズの公式の導出

Lens の最も基本的な公式は次の通りです。

1/f = 1/a + 1/b

ここで a は物体からレンズ中心までの距離（物距）、b は像からレンズ中心までの距離（像距）、f は焦点距離です。この公式の導出は、三角形の相似関係から行われます。

具体的な導出手順を説明します。物体 높이 h の尖端から来たる光がレンズの中心を通り、通过後に像の尖端に到達するとします。このとき、物体→レンズ→像の光路を考え、平行光線が焦点を通る性質を利用すると、2つの相似三角形が見出せ、倍率 m = -b/a という関係が得られます。ここから式を整理すると、1/f = 1/a + 1/b が導出されます。

この公式が教えるところの本质は、焦点距離 f がが決まれば（これはレンズ本身的的性质で材质や厚みで决まる）、物体位置 a に応じて像位置 b が自動的に决まるということですつまり、一つの値を変えるともう一方の値も连動して变化します。

実像と虚像の違い

像 понятие の理解は、光学系全体を贯く最も重要な概念です。実像とは、光線が実際に集まって 형성される像のことを言い、像面にスクリーンを置くとそこに像を映し出すことができます。これに対し、虚像は光線の延長線（逆时针方向的延长线）が集まる 점에서构成される像であり、スクリーンを置いてそこに像を映すことはできません。

具体例として、凸レンズで物体が焦点距離の2倍の位置にある場合を考えます。このとき像は反対側の焦点距離の2倍の位置に实像としてできます。カメラの写真機や人の目は、この実像を成像面（それぞれフィルム/センサー、網膜）に捉えることで像を「記録」しています。

一方、拡大镜（ルーペ）は凹レンズを使い、虚像を形成します。拡大镜使用时像虚像으로서见到、物体が 확대되어見えますが、これは实际の物体から发する光が脑内で处理された 结果です。拡大镜の公式は 1/f = 1/a つまり a = f のときに像の位置が无限遠になり，虚像として認識されます。

像倍率

像の大きさ（即ち倍率）もまた光学系の重要な特性です。倍率 m は

m = -b/a

で与えられます。符号がマイナスであることは像が倒立（上下反転）していることを意味します，また |m| > 1 なら像は物体より大きく、|m| < 1 なら小さいことを示します。

具体例として、a = 30 cm、f = 10 cm の凸レンズを考えると、1/b = 1/f - 1/a = 1/10 - 1/30 = 2/30 也就是 b = 15 cm となります。このとき 倍率 m = -b/a = -15/30 = -0.5 也就是 像は半分の大きさの倒立実像になります。

ここで興味深いケースを考えます。物体を焦点位置（a = f）に置くと、1/b = 0 也就是 b → ∞ となり像は無限遠にできます，平行光線となって像を結びません这就是投影机等では，投影像をスクリーンに結ばせるために物体を焦点より遠くに置く理由です。

凹面鏡と凸面鏡の成像則

次に反射による成像を考えるのが反射望遠鏡や美容院などで見かけるアレ。これらは球面鏡的一种です。凹面鏡（おうがんきょう）は内側に凹陷した鏡で、お椀の內側のような形状をしており、凸レンズと同様に光を集中的作用があります。

球面鏡の公式はレンズと同じ形を持ち、1/f = 1/a + 1/b で表されます。ただし球面鏡の焦点距離は半径の半分（f = R/2）になり、凹面鏡では実焦点、凸面鏡では仮想焦点になります。球面鏡の放大率も m = -b/a で同样に定義されます。

身の回りでの应用を挙げると、凹面鏡はumont器和是天体望遠鏡の副鏡などに使われ、凸面鏡は車のバックミラーや曲がり角の安全ミラーなどに使われています。凸面鏡は広い範囲を映せるという特性を利用したものですが、像は縮小されるため距离感的学习には練習が必要です。

眼の光学系

人間の目もれっきとした光学系です。外から入った光が角膜と水晶体という二つのレンズを通り、網膜上に実像が結ばれます。水晶体は丈夫の組織でできた弾性のあるレンズで、毛様体という筋肉によって厚さが変わり、远近の物体に焦点を合わせる「調整」が行われます。この調整能力は年と共に低下し、これが老眼の主要な原因です。

近視・遠視・乱視という定番の目の問題も、光学系の知識で理解できます。近視は眼軸（コラーゲンから網膜までの距離）が長すぎる、またはコラーゲンの屈折力が強すぎるために、远方からの平行光が網膜の前方で像を結んでしまう状態です。凹レンズで矫正します。遠視は逆に眼軸が短すぎる、またはコラーゲンの屈折力が弱すぎるために、近方の像が網膜の後方で結ばれてしまうことで、凸レンズで矫正します。

相机は目の構造と惊人なほど類似しており、镜头（コラーゲンに相当）がズームとフォーカス调节を行い、絞り（虹彩に相当）が光量を调节し、センサー（網膜に相当）が光を電気信号に変換します。双方的设计哲学が同じであることは、自然演伸と 工学的設計の 接点として非常に興味深い点があります。